交叉熵

关于交叉熵在loss函数中使用的理解

信息论

交叉熵是信息论中的一个概念，想要了解交叉熵的本质，需要从最基本的概念讲起。

1. 信息量

首先是信息量。假设我们听到了两件事，分别如下：
事件A：巴西队进入了2018世界杯决赛圈。
事件B：中国队进入了2018世界杯决赛圈。
仅凭直觉来说，显而易见事件B的信息量比事件A的信息量要大。究其原因，是因为事件A发生的概率很大，事件B发生的概率很小。所以当越不可能的事件发生了，我们获取到的信息量就越大。越可能发生的事件发生了，我们获取到的信息量就越小。那么信息量应该和事件发生的概率有关。

假设$X$是一个离散型随机变量，其取值集合为$χ$,概率分布函数$p(x)=Pr(X=x),x∈χ$,则定义事件$X=x_0$的信息量为：

$I(x_0) = -log(p(x_0))$

由于是概率所以$p(x_0)$的取值范围是[0, 1],绘制为图形如下：

2. 熵

考虑另一个问题，对于某个事件，有nn种可能性，每一种可能性都有一个概率$p(xi)$这样就可以计算出某一种可能性的信息量。举一个例子，假设你拿出了你的电脑，按下开关，会有三种可能性，下表列出了每一种可能的概率及其对应的信息量

序号	事件	概率p	信息量I
A	电脑正常开机	0.7	-log(p(A))=0.36
B	电脑无法开机	0.2	-log(p(B))=1.61
C	电脑爆炸了	0.1	-log(p©)=2.30

注：文中的对数均为自然对数

我们现在有了信息量的定义，而熵用来表示所有信息量的期望，即：

$H(X) = -\sum_{i = 1}^{n}{p(x_i)log(p(x_i))}$

其中n代表所有的n种可能性，所以上面的问题的结果就是

$H(X) = -[p(A)log(p(A)) + p(B)log(p(B)) + p(C)log(p(C))] = 0.7\times0.36 + 0.2 \times 1.61 + 0.1 \times * 2.30 = 0.804$

然而，有一类比较太特殊的问题，比如，投掷硬币只有两种可能，字朝上或花朝上。买彩票只有两种可能，中奖或不中奖。我们称之为0-1分布（二项分布的特例），对于这类问题，熵的计算方法可以简化为如下算式：

$H(X) = -\sum_{i = 1}^{n} p(x_i)log(p(x_i)) = -p(x)log(p(x)) - (1 - p(x))log(1-p(x))$

3. 相对熵

相对熵又称KL散度，如果我们对于同一个随机变量x有两个单独的概率分布P(x)或Q(x)，我们可以使用KL散度来衡量这两个分布的差异。

即如果用P来描述目标问题，而不是用Q来描述目标问题，得到的信息增量。

在机器学习中，P往往用来表示样本的真实分布，比如[1,0,0]表示当前样本属于第一类。Q用来表示模型所预测的分布，比如[0.7,0.2,0.1]
直观的理解就是如果用P来描述样本，那么就非常完美。而用Q来描述样本，虽然可以大致描述，但是不是那么的完美，信息量不足，需要额外的一些“信息增量”才能达到和P一样完美的描述。如果我们的Q通过反复训练，也能完美的描述样本，那么就不再需要额外的“信息增量”，Q等价于P。

KL散度的计算公式：

n为事件的所有可能性。

$D_{KL}$的值越小，表示q分布和p分布越接近

4. 交叉熵

对于KL散度的公式进行变形可以得到：

等式的前一部分恰巧就是p的熵，等式的后一部分，就是交叉熵

$H(p, q) = -\sum_{i = 1}^n p(x_i)log(q(x_i))$

在机器学习中，我们需要评估label和predicts之间的差距，使用KL散度刚刚好，即$D_{KL}(y||\hat y)$，由于KL散度中的前一部分$-H(y)$不变，故在优化过程中，只需要关注交叉熵就可以了。所以，一般在机器学习中直接使用交叉熵做loss，评估模型。

参考：https://blog.csdn.net/tsyccnh/article/details/79163834?tdsourcetag=s_pctim_aiomsg